電験三種 H24年 理論 問15(コンデンサ回路)

電験三種 H24年 理論 問15(コンデンサ回路)

問 15
図のように、三つの平行平板コンデンサを直並列に接続した回路がある。

ここで、それぞれのコンデンサの極板の形状及び面積は同じであり、極板間には同一の誘電体が満たされている。

なお、コンデンサの初期電荷は零とし、端効果は無視できるものとする。

いま、端子 a-b 間 に直流電圧 300 [V] を加えた。

このとき、次の (a) 及び (b) の問に答えよ。

(a) 静電容量が $4u [F]$ のコンデンサに蓄えられる電荷 $Q [C]$ の値として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1) $1.2×10^{-4}$    (2) $2×10^{-4}$     (3) $2.4×10^{-4}$
(4) $3×10^{-4}$     (5) $4×10^{-4}$

(b) 静電容量がのコンデンサの極板間の電界の強さは、のコンデンサの極板間の電界の強さの何倍か。倍率として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1) $\cfrac{3}{4}$        (2) $1.0$       (3) $\cfrac{4}{3}$
(4) $\cfrac{3}{2}$        (5) $2.0$

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解 答

(a) の問題
コンデンサの静電容量の計算

直列接続のとき$\cdots \cfrac{1}{C}=\cfrac{1}{C_1}+\cfrac{1}{C_2}\cdots\cfrac{1}{C_n}$

並列接続のとき$\cdots C=C_1+C_2 \cdots C_n$ です。

問題の回路は次のような等価回路になります。

次の図のように、直列接続のコンデンサに蓄えられる電荷 $Q [C]$ は同じです。

$Q=CV$ から

$Q=C_1V_1=C_2V_2=3V_1=6V_2$ が成り立ちます。

$V_1+V_2=300$ から $V_1=300-V_2$ を上の式に代入すると

$3×(300-V_2)=6×V_2$

$V_2=100 [V]$

$4 [uF]$ のコンデンサに蓄えられる電荷は

$Q=CV=4×10^{-6}×100=4×10^{-4} [C]$ となります。

(a) の答え (5)になります。

(b) の問題
電界の強さ $E [V/m]$、 電圧 $V [V]$、 極板間の距離 $d [m]$ とすると 
$E=\cfrac{V}{d}$ で表されます。

$3 [uF]$ のコンデンサの電界の強さを $E_1$、極板間の距離 $d_1$

$4 [uF]$ のコンデンサの電界の強さを $E_2$、極板間の距離 $d_2$ とすると

$E_1=\cfrac{V_1}{d_1}=\cfrac{200}{d_1}$

$E_2=\cfrac{V_2}{d_2}=\cfrac{100}{d_2}$ になります。

コンデンサの静電容量を $C [F]$、誘電率 $ε [F/m]$、極板の面積 $S [m^2]$、極板間の距離 $d [m]$ とすると

$C=ε\cfrac{S}{d} [F]$

$3 [uF]$ のコンデンサを $C_1$

$4 [uF]$ のコンデンサを $C_2$ とすると

$C_1=ε\cfrac{S}{d_1}$ → $d_1=ε\cfrac{S}{C_1}$

$C_2=ε\cfrac{S}{d_2}$ → $d_2=ε\cfrac{S}{C_2}$

問題文に、コンデンサの形状と面積が同じで、同一の誘電体とあるので、電界の強さを比較すると

$\cfrac{E_1}{E_2}=\cfrac{\cfrac{V_1}{d_1}}{\cfrac{V_2}{d_2}}=\cfrac{V_1}{V_2}×\cfrac{\cfrac{εS}{C_2}}{\cfrac{εS}{C_1}}=\cfrac{V_1C_1}{V_2C_2}$

$\cfrac{E_1}{E_2}=\cfrac{200×3×10^{-6}}{100×4×10^{-6}}=\cfrac{3}{2}$

正解は(4)