H24 理論 問15(コンデンサ回路)




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H24 理論 問15(コンデンサ回路)

問 15
図のように、三つの平行平板コンデンサを直並列に接続した回路がある。

ここで、それぞれのコンデンサの極板の形状及び面積は同じであり、極板間には同一の誘電体が満たされている。

なお、コンデンサの初期電荷は零とし、端効果は無視できるものとする。

いま、端子 a-b 間 に直流電圧 300 [V] を加えた。

このとき、次の (a) 及び (b) の問に答えよ。

(a) 静電容量が 4 \([uF]\) のコンデンサに蓄えられる電荷 \(Q\) [C] の値として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1) \(1.2×10^{-4}\)    (2) \(2×10^{-4}\)     (3) \(2.4×10^{-4}\)
(4) \(3×10^{-4}\)     (5) \(4×10^{-4}\)

(b) 静電容量がのコンデンサの極板間の電界の強さは、のコンデンサの極板間の電界の強さの何倍か。倍率として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1) \(\cfrac{3}{4}\)        (2) 1.0       (3) \(\cfrac{4}{3}\)
(4) \(\cfrac{3}{2}\)        (5) 2.0

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解 答

(a) の問題

コンデンサの静電容量の計算

直列接続のとき \(\cdots \cfrac{1}{C}=\cfrac{1}{C_1}+\cfrac{1}{C_2}\cdots\cfrac{1}{C_n}\)

並列接続のとき \(\cdots C=C_1+C_2 \cdots C_n\) です。

問題の回路は次のような等価回路になります。

次の図のように、直列接続のコンデンサに蓄えられる電荷 \(Q\) [C] は同じです。

\(Q=CV\) から

\(Q=C_1V_1=C_2V_2=3V_1=6V_2\) が成り立ちます。

\(V_1+V_2=300\) から \(V_1=300-V_2\) を上の式に代入すると

\(3×(300-V_2)=6×V_2\)

\(V_2=100\) [V]

\(4 [uF]\) のコンデンサに蓄えられる電荷は

\(Q=CV=4×10^{-6}×100=4×10^{-4}\) [C] となります。

(a) の答え (5)になります。

(b) の問題

電界の強さ \(E\) [V/m]、電圧 \(V\) [V]、極板間の距離 \(d\) [m] とすると 
\(E=\cfrac{V}{d}\) で表されます。

\(3 [uF]\) のコンデンサの電界の強さを \(E_1\)、極板間の距離 \(d_1\)

\(4 [uF]\) のコンデンサの電界の強さを \(E_2\)、極板間の距離 \(d_2\) とすると

\(E_1=\cfrac{V_1}{d_1}=\cfrac{200}{d_1}\)

\(E_2=\cfrac{V_2}{d_2}=\cfrac{100}{d_2}\) になります。

コンデンサの静電容量を \(C\) [F]、誘電率 \(ε\) [F/m]、極板の面積 \(S [m^2]\)、極板間の距離 \(d\) [m] とすると

\(C=ε\cfrac{S}{d}\) [F]

\(3 [uF]\) のコンデンサを \(C_1\)

\(4 [uF]\) のコンデンサを \(C_2\) とすると

\(C_1=ε\cfrac{S}{d_1}\) → \(d_1=ε\cfrac{S}{C_1}\)

\(C_2=ε\cfrac{S}{d_2}\) → \(d_2=ε\cfrac{S}{C_2}\)

問題文に、コンデンサの形状と面積が同じで、同一の誘電体とあるので、電界の強さを比較すると

\(\cfrac{E_1}{E_2}=\cfrac{\cfrac{V_1}{d_1}}{\cfrac{V_2}{d_2}}=\cfrac{V_1}{V_2}×\cfrac{\cfrac{εS}{C_2}}{\cfrac{εS}{C_1}}=\cfrac{V_1C_1}{V_2C_2}\)

\(\cfrac{E_1}{E_2}=\cfrac{200×3×10^{-6}}{100×4×10^{-6}}=\cfrac{3}{2}\)

正解は(4)