H24 理論 問12(ローレンツ力の問題)




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H24 理論 問12(ローレンツ力の問題)

問 12
次の文章は、図に示す「磁界中における電子の運動」に関する記述である。

真空中において、磁束密度 \(B\) [T] の一様な磁界が紙面と平行な平面の(ア)へ垂直に加わっている。ここで、平面上の点 a に電荷 \(-e\) [C] 、質量 \(m_0\) [kg] の電子をおき、図に示す向きに速さ \(v\) [m/s] の初速度を与えると、電子は初速度の向き及び磁界の向きのいずれに対しても垂直で図に示す向きの電磁力 \(F_A\) [N] を受ける。

この力のために電子は加速度を受けるが速度の大きさは変わらないので、その方向のみが変化する。

したがって、電子はこの平面上で時計回りに速さ \(v\) [m/s] の円運動をする。

この円の半径を \(r\) [m] とすると、電子の運動は、磁界が電子に作用する電磁力の大きさ \(F_A=Bev\) [N] と遠心力 \(F_B=\cfrac{m_0}{r}v^2\) [N] とが釣り合った円運動であるので、その半径は \(r=\)(イ)[m] と計算される。

したがって、この円運動の周期は T=(ウ) [s]、各周波数は \(ω=\)(エ)[rad/s] となる。 

ただし、電子の速さ \(v\) [m/s] は、光速より十分小さいものとする。

また、重力の影響は無視できるものとする。

上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組み合わせとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。


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解 答

この問題において、電子が \(F_A\) の向心力を受けるためには、磁界の方向は紙面の「おもてから裏」に向かわなければなりません。

したがって(ア)は、「おもてから裏」になります。

(イ)は、向心力 \(F_A\) [N] と遠心力 \(F_B\) [N] が釣り合っていますので、次の式が成り立ちます。

\(F_A=F_B=Bev=\cfrac{m_0v^2}{r}\) [N]

したがって、(イ)は

\(r=\cfrac{m_0v}{eB}\) [m] になります。

(ウ)は、周期 \(T\) を求める問題です。

円運動の周期 \(T\) は、

\(T=\cfrac{2πr}{v}=\cfrac{2π×\cfrac{m_0v}{eB}}{v}=\cfrac{2πm_0}{eB}\) [s] になります。

(エ)の角周波数 \(ω\) は、

\(ω=2πf=\cfrac{2π}{T}=\cfrac{2π}{\cfrac{2πm_0}{eB}}=\cfrac{eB}{m_0}\) [rad/s] になります。

正解は(2)