電験三種 H24年 理論 問10(RLC並列回路)

電験三種 H24年 理論 問10(RLC並列回路)

問 10
図のように、$R_1=20[Ω]$ と $R_2=30[Ω]$ の抵抗、静電容量 $C=\cfrac{1}{100π}[F]$ のコンデンサ、インダクタンス $L=\cfrac{1}{4π}[H]$ のコイルからなる回路に周波数 $f[Hz]$ で実効値 $V[V]$ が一定の交流電圧を加えた。

$f=10[Hz]$ のときに $R_1$ を流れる電流の大きさを $I_{10Hz}[A]$、$f=10[MHz]$ のときに $R_1$ を流れる電流の大きさを $I_{10MHz}[A]$ とする。

このとき、電流比 $\cfrac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}}$ の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

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解 答

この問題は、周波数の異なる電圧を加えたときに、回路に流れる電流を比較する問題です。

この回路の合成インピーダンスは、$R_2とLとC$ の並列接続に $R_1$ が直列に接続されています。

周波数 $f=10Hz$ のとき
周波数 $f=10Hz$ のときの回路のインピーダンスを $Z_{10Hz}[Ω]$ として値を求めます。

$Z_{10Hz}=R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{jωL}+jωC}=R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{j2πfL}+j2πfC}$

$=20+\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}+\cfrac{1}{j2π×10×\cfrac{1}{4π}}+j2π×10×\cfrac{1}{100π}}$

$=20+\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}-j\cfrac{1}{5}+j\cfrac{1}{5}}=50[Ω]$

$R_1$ に流れる電流を $I_{10Hz}[A]$ とすると、次のようになります。

$I_{10Hz}=\cfrac{V}{Z_{10Hz}}=\cfrac{V}{50}[A]$

周波数 $f=10MHz$ のとき

周波数 $f=10MHz$ のときの回路のインピーダンスを $Z_{10MHz}[Ω]$ として値を求めます。

$Z_{10MHz}=20+\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}+\cfrac{1}{j2π×10×10^6×\cfrac{1}{4π}}+j2π×10×10^6×\cfrac{1}{100π}}$

$=20+\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}-j2×10^{-7}+j2×10^5}$

上の式のプラスから右の式 $\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}-j2×10^{-7}+j2×10^5}$ は非常に小さくなるので
$≒20[Ω]$ となる。

$R_1$ に流れる電流を $I_{10MHz}[A]$ とすると、次のようになります。

$I_{10MHz}≒\cfrac{V}{Z_{10MHz}}=\cfrac{V}{20}[A]$

したがって、電流比

$\cfrac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}}=\cfrac{\cfrac{V}{50}}{\cfrac{V}{20}}=0.4[A]$

正解は(1)