H24 理論 問10(RLC並列回路)




スポンサーリンク



H24 理論 問10(RLC並列回路)

問 10
図のように、\(R_1=20\) [Ω] と \(R_2=30\) [Ω] の抵抗、静電容量 \(C=\cfrac{1}{100π}\) [F] のコンデンサ、インダクタンス \(L=\cfrac{1}{4π}\) [H] のコイルからなる回路に周波数 \(f\) [Hz] 実効値 \(V\) [V] が一定の交流電圧を加えた。

\(f\)=10 [Hz] のときに \(R_1\) を流れる電流の大きさを \(I_{10Hz}\) [A]、\(f\)=10 [MHz] のときに \(R_1\) を流れる電流の大きさを \(I_{10MHz}\) [A] とする。

このとき、電流比 \(\cfrac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}}\) の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

ここをクリックで解答の表示・非表示

解 答

この問題は、周波数の異なる電圧を加えたときに、回路に流れる電流を比較する問題です。

この回路の合成インピーダンスは、\(R_2\) と \(L\) と \(C\) の並列接続に \(R_1\) が直列に接続されています。

周波数 \(f\)=10 Hz のとき
周波数 \(f\)=10 Hz のときの回路のインピーダンスを \(Z_{10Hz}\) [Ω] として値を求めます。

\(Z_{10Hz}=R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{jωL}+jωC}=R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{j2πfL}+j2πfC}\)

\(=20+\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}+\cfrac{1}{j2π×10×\cfrac{1}{4π}}+j2π×10×\cfrac{1}{100π}}\)

\(=20+\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}-j\cfrac{1}{5}+j\cfrac{1}{5}}=50\) [Ω]

\(R_1\) に流れる電流を \(I_{10Hz}\) [A] とすると、次のようになります。

\(I_{10Hz}=\cfrac{V}{Z_{10Hz}}=\cfrac{V}{50}\) [A]

周波数 \(f\)=10 MHz のとき

周波数 \(f\)=10 MHz のときの回路のインピーダンスを \(Z_{10MHz}\) [Ω] として値を求めます。

\(Z_{10MHz}=20+\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}+\cfrac{1}{j2π×10×10^6×\cfrac{1}{4π}}+j2π×10×10^6×\cfrac{1}{100π}}\)

\(=20+\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}-j2×10^{-7}+j2×10^5}\)

上の式のプラスから右の式 \(\cfrac{1}{\cfrac{1}{30}-j2×10^{-7}+j2×10^5}\) は非常に小さくなるので
≒20 [Ω] となる。

\(R_1\) に流れる電流を \(I_{10MHz}\) [A] とすると、次のようになります。

\(I_{10MHz}≒\cfrac{V}{Z_{10MHz}}=\cfrac{V}{20}\) [A]

したがって、電流比

\(\cfrac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}}=\cfrac{\cfrac{V}{50}}{\cfrac{V}{20}}\)=0.4 [A]

正解は(1)