H24 理論 問2(コンデンサ)

H24 理論 問2(コンデンサ)

問 2
極板A-B間が誘電率 \(ε_0[F/m]\) の空気で満たされている平行平板コンデンサの空気ギャップ長を \(d[m]\) 、静電容量を \(C_0[F]\) とし、極板間の直流電圧を \(V_0[V]\) とする。

極板と同じ形状と面積を持ち、厚さが \(\cfrac{d}{4}[m]\) 、誘電率 \(ε_1[F/m]\) の固体誘電体 ( \(ε_1>ε_0\)) を図に示す位置P-Q間に極板と平行に挿入すると、コンデンサ内の電位分布は変化し、静電容量は \(C_1[F]\) に変化した。

このとき、誤っているものを次の (1)~(5) のうちから一つ選べ。

ただし、空気の誘電率を \(ε_0\) 、コンデンサの端効果は無視できるものとし、直流電圧 \(V_0[V]\) は一定とする。

(1) 位置Pの電位は、固体誘電体を挿入する前の値よりも低下する。

(2) 位置Qの電位は、固体誘電体を挿入する前の値よりも上昇する。

(3) 静電容量は \(C_1[F]\) 、 \(C_0[F]\) よりも大きくなる。

(4) 固体誘電体を導体に変えた場合、位置Pの電位は固体誘電体又は導体を挿入する前の値よりも上昇する。

(5) 固体誘電体を導体に変えた場合の静電容量 \(C_2[F]\) は、 \(C_0[F]\) よりも大きくなる。

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解 答

電気の公式から
$C=ε\cfrac{S}{d}[F]$
C:静電容量[F] ε:誘電率
S:電極板の面積[\(m^2\)] d:電極板の距離[m]

固体誘電体の挿入前

固体誘電体を挿入する前の静電容量 $C_0$ は、極板の面積を $A[m^2]$ とすると

$C_0=ε_0\cfrac{A}{d}[F] \tag{1}$

電極A、B間は平等電界なので、電位の式 $V=Ed [V]$  から分かるように、電位は距離に比例する。

P点の電位を $V_P$ とすると、$V_0$ に対して

$V_P=\cfrac{3}{4}V_0 \tag{2}$

同様にして、 \(V_Q\) の電位は

\(V_Q=\cfrac{1}{2}V_0 \tag{3}\)

固体誘電体の挿入後

<手順>

  1. 合成静電容量 \(C_1\) を求める。
  2. 位置Pの電位を求める。
  3. 固体誘電体の挿入前の位置Pの電位と比較する。
  4. 位置Qについて同様に行なう。

固体誘電体を挿入した後は、各コンデンサの直列接続になります。

各コンデンサの静電容量を求めると、次のようになります。

\(\qquad C_a=ε_0\cfrac{A}{\cfrac{d}{4}}=ε_0\cfrac{4A}{d}\)

\(\qquad C_b=ε_1\cfrac{A}{\cfrac{d}{4}}=ε_1\cfrac{4A}{d}\)

\(\qquad C_c=ε_0\cfrac{A}{\cfrac{d}{2}}=ε_0\cfrac{2A}{d}\)

合成静電容量 \(C_1[F]\) は、電気の公式集の式(2-2-7-5)から

$\cfrac{1}{C_1}=\cfrac{1}{C_a}+\cfrac{1}{C_b}+\cfrac{1}{C_c}$
$=\cfrac{d}{4ε_0A}=\cfrac{d}{4ε_1A}+\cfrac{d}{2ε_0A}$

$\cfrac{1}{C_1}=\cfrac{3d}{4ε_0A}+\cfrac{d}{4ε_1A}$ 式を変形すると

$C_1=\cfrac{1}{\cfrac{3d}{4ε_0A}+\cfrac{d}{4ε_1A}}$ 分母、分子に $4ε_0ε_1A$ を掛けて整理

$C_1=ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \tag{4}$

コンデンサの直列接続になりますので、電荷 \(Q [C]\) は一定になります。

\(Q=C_1V_0=ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4V_0}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \)

位置Pの電位を \(V_{P1} [V]\) とすると、次の式のようになります。

$V_{P1}=V_0-\cfrac{Q}{C_a}$

$=V_0-\cfrac{ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4V_0}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}}}{ε_0\cfrac{4A}{d}}=V_0-\cfrac{\cfrac{4V_0}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}}}{4}$

$V_{P1}=V_0\left(1-\cfrac{1}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \right) \tag{5}$

$V_P=\cfrac{3}{4}V_0 \tag{2}$

式(2) と式(5) を比較して見ると

式(5) において、問題文から \(\cfrac{ε_0}{ε_1}<1 \) なので

\(\left(1-\cfrac{1}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \right)<\cfrac{3}{4} \)

であることがわかります。

したがって、式(5) は式(2) より値が小さくなるので、問題文の (1) は正しい。

次に、位置Qの電位を \(V_{Q1} [V]\) とすると次の式のようになります。

$V_{Q1}=\cfrac{Q}{C_c}$

$=\cfrac{ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4V_0}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}}}{ε_0\cfrac{2A}{d}}$

$V_{Q1}=\cfrac{1}{2}V_0×\cfrac{4}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \tag{6}$

\(V_Q=\cfrac{1}{2}V_0 \tag{3}\)

式(3) と式(6) を比較して見ると

式(6) において、問題文から \(\cfrac{ε_0}{ε_1}<1 \) なので、式(6) は\(\cfrac{1}{2}V_0 \) より大きくなります。

したがって、問題文の (2) は正しい。

静電容量 \(C_0とC_1\) を比較すると \(C_0=ε_0\cfrac{A}{d}[F] \tag{1}\)  \(C_1=ε_0\cfrac{A}{d}×\cfrac{4}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}} \tag{4} \) 式(4) の \(\cfrac{4}{3+\cfrac{ε_0}{ε_1}}>1 \) なので 式(4) は式(1) より大きくなります。

したがって、問題文の (3) は正しい。

固体誘電体を導体に変えたとき

図で分かるように、導体にしたことにより極板の間隔 \(\cfrac{d}{4}[m] \) が狭くなり

等価回路の \(C_b[F]\) がなくなったことになります。

合成静電容量を \(C_2 [F]\) とすると、和分の積から

$C_2=\cfrac{C_aC_c}{C_a+C_c}=\cfrac{ε_0\cfrac{4A}{d}×ε_0\cfrac{2A}{d}}{ε_0\cfrac{4A}{d}+ε_0\cfrac{2A}{d} }$

$C_2=\cfrac{4}{3}×\cfrac{ε_0A}{d}\tag{7}$

\(C_0=ε_0\cfrac{A}{d}[F] \tag{1}\)

電荷 \(Q[C]\) は同じですから \(Q=C_2V_0\) になります。

位置Pの電位を \(V_{P2} \) とすると、

$V_{P2}=\cfrac{Q}{C_c}=\cfrac{C_2}{C_c}V_0=\cfrac{\cfrac{4}{3}×\cfrac{ε_0A}{d}} {ε_0\cfrac{2A}{d} }V_0$

$V_{P2}=\cfrac{2}{3}V_0 \tag{8}$

\(V_P=\cfrac{3}{4}V_0 \tag{2}\)

式(2) と 式(8) を比較すると 式(2) > 式(8) \((V_P>V_{P2})\) なので、問題文の (4) は誤りになる。

静電容量は式(1) と 式(7) を比較すると 式(1) < 式(7) \((C_0< C_2)\) なので、問題文の (5) は正しい。

正解は(4)