H21 理論 問10(RL回路)

問 10 
図1のようなインダクタンス $L$ [H] のコイルと $R$ [Ω] の抵抗からなる直列回路に、図2のような振幅 $E$ [V] 、パルス幅 $T_0$ [s] の方形波電圧 $v_i$ [V] を加えた。

このときの抵抗 $R$ [Ω] の端子間電圧 $v_R$ [V] の波形を示す図として、正しいのは次のうちどれか。

ただし、図1の回路の時定数 $\cfrac{L}{R}$ [s] は $T_0$ [s] より十分小さく $(\cfrac{L}{R}\ll T_0)$ 、方形波電圧 $v_i$ [V] を発生する電源の内部インピーダンスは $0$ [Ω] とし、コイルに流れる初期電流は $0$ [A] とする。


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解 答

図1のようなRL直列回路の過渡現象では、回路に流れる電流 $i$ [A] は、$t=0~T_0$ の間では

$i(t)=\cfrac{E}{R}(1-ε^{-\frac{R}{L}t}) (t≧0)$

$τ=\cfrac{L}{R}[s]$ を時定数という

時定数は、過渡現象の速さを知る尺度です。

$t/τ=1$ では、最終値の 63.2%の値になり、

$t/τ=2$ では、最終値の 86.5%の値になる。

また、定常状態の時は、$i(t)=\cfrac{E}{R}$ になります。

図3はこの様子を示したものです。

各素子に加わる電圧の変化は、次のようにして求められる
$v_R(t)=Ri(t)=E(1-ε^{-\frac{R}{L}t})$

$v_L(t)=L\cfrac{di(t)}{dt}=Eε^{-\frac{R}{L}t}$

抵抗の端子間電圧は,次のようになります。

$v_R(t)=E(1-ε^{-\frac{R}{L}t})$

$\cfrac{L}{R}\ll T_0$ なので、時刻 $t=T_0$ の時点では、

$v_R=E$ [V] になります。

次に、時刻 $T_0<t$ となると、電源電圧 $E=0$ [V] となるので

$v_L=Eε^{-\frac{R}{L}t}$ [V] になり、減少していきます。

正解は(5)