電験三種 H21年 理論 問8(位相差)

電験三種 H21年 理論 問8(位相差)

問 8 
図のように、 $R=\sqrt{3}ωL$ [Ω] の抵抗、インダクタンス $L$ [H] のコイル、スイッチ S が角周波数 ω [rad/s] の交流電圧 $\dot{E}$ の電源に接続されている。

スイッチ S を開いているとき、コイルを流れる電流の大きさを $I_1$ [A]、電源電圧に対する電流の位相差を $θ_1$ [°] とする。

また、スイッチ S を閉じているとき、コイルを流れる電流の大きさを $I_2$ [A]、電源電圧に対する電流の位相差を $θ_2$ [°] とする。

このとき、$\cfrac{I_1}{I_2}$ 及び $|θ_1-θ_2|$ [°] の値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

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解 答

抵抗 $R$ とインダクタンス $L$ のインピーダンスは、 $R+jωL$ で表されます。

また、インピーダンスの大きさは、 $\sqrt{R^2+(ωL)^2}$ になります。

スイッチ S が閉じているとき
$\dot{I_1}=\cfrac{\dot{E}}{R+jωL}$ になります。

問題文で $R=\sqrt{3}ωL$ [Ω] となっていますので、これを上の式に代入して整理します。

$\dot{I_1}=\cfrac{\dot{E}}{\sqrt{3}ωL+jωL}$

$=\cfrac{(\sqrt{3}ωL-jωL)\dot{E}}{(\sqrt{3}ωL+jωL)(\sqrt{3}ωL-jωL)}$

$=\cfrac{ωL(\sqrt{3}-j)\dot{E}}{4(ωL^2)}$

$\dot{I_1}=\left(\cfrac{\sqrt{3}}{4ωL}-j\cfrac{1}{4ωL} \right)\dot{E}\tag{1}$

電流 $I_1$ [A] の大きさは、次のようになります。
$I_1=\cfrac{E}{\sqrt{(\sqrt{3}ωL)^2+(ωL)^2}}=\cfrac{E}{2ωL}$

$θ_1=tan^{-1}\left(\cfrac{ωL}{R}\right)=tan^{-1}\left(\cfrac{ωL}{\sqrt{3}ωL}\right)=tan^{-1}\left(\cfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=30°(遅れ電流)$

スイッチ S が開いているとき
負荷はインダクタンスだけの回路になります。

電流の大きさ $\dot{I_2}$ [A] は、次のようになります。
$\dot{I_2}=\cfrac{\dot{E}}{jωL}\tag{2}$

$∴I_2=\cfrac{E}{ωL}$

$θ_2=tan^{-1}\left(\cfrac{ωL}{0}\right)=tan^{-1}∞=90°(遅れ電流)$

したがって、電流の比は次のようになります。

$\cfrac{I_1}{I_2}=\cfrac{\cfrac{E}{2ωL}}{\cfrac{E}{ωL}}=\cfrac{1}{2}$

$|θ_1-θ_2|$ は、$|30°-90°|=60°$

答えは (2) になります。

また、別解として
$|θ_1-θ_2|$ は、 $\dot{I_1}-\dot{I_2}$ で表すことができる。

式(1)-式(2)で、共通の $\dot{E}$ は省略すると、

$\left(\cfrac{\sqrt{3}}{4ωL}-j\cfrac{1}{4ωL} \right)-\cfrac{\dot{E}}{jωL}=\cfrac{\sqrt{3}}{4ωL}+j\cfrac{3}{4ωL}$

この関係を、ベクトルで表示すると

したがって、θ=60°になります。

正解は(2)