H21 理論 問1(コンデンサ)




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H21 理論 問1(コンデンサ)

[no_toc] 問 1 
電極板面積と電極板間隔が共に \(S [m^2]\) と \(d\) [m] で、一方は比誘電率が \(ε_{r1}\) の誘電体からなる平行平板コンデンサ \(C_1\) と、他方は比誘電率が \(ε_{r2}\) の誘電体からなる平行平板コンデンサ \(C_2\) がある。

いま、これらを図のように並列に接続し、端子A、B間に直流電圧 \(V_0\) [V] を加えた。

この時、コンデンサ \(C_1\) の電極板間の電界の強さを \(E_1\) [V/m]、電束密度を \(D_1 [C/m^2]\)、また、 コンデンサ \(C_2\) の電極板間の電界の強さを \(E_2\) [V/m]、電束密度を \(D_2\) [C/m^2] とする。

両コンデンサの電界の強さ \(E_1\) [V/m] と \(E_2\) [V/m] はそれぞれ (ア) であり、電束密度 \(D_1 [C/m^2]\) と \(D_2 [C/m^2]\) はそれぞれ (イ) である。

したがって、コンデンサ \(C_1\) に蓄えられる電荷を \(Q_1\) [C] 、コンデンサ \(C_2\) に蓄えられる電荷を \(Q_2\) [C] とすると、それらはそれぞれ (ウ) となる。

ただし、電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は、無視できるものとする。

また、真空の誘電率を \(ε_0\) [F/m] とする。

上記の記述中の空白箇所 (ア)、(イ)、(ウ)に当てはまる式として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。


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解 答

電界の強さを求める

電界の強さは電界の公式から

\(E=\cfrac{V}{d}\) [V/m] なので、電界の強さ \(E_1\) と \(E_2\) は次のようになります。

\(E_1=\cfrac{V_0}{d}\)

\(E_2=\cfrac{V_0}{d}\)

電束密度を求める

電束密度の公式は
\(D=εE [C/m^2]\) で表されるので、電束密度 \(D_1\) と \(D_2\) は次のように求められます。

\(D_1=ε_0ε_{r1}E_1=\cfrac{ε_0ε_{r1}}{d}V_0\)

\(D_2=ε_0ε_{r2}E_2=\cfrac{ε_0ε_{r2}}{d}V_0\)

電荷を求める

電束密度から電荷を求めることができます。

Q[C]の電荷からは、Q本の電束が出ています。

電束密度は面積を \(S[m^2]\) とすると、\(D=\cfrac{Q}{S}\) で表すことができます。

この式を変形すると \(Q=SD\) となります。

したがって、コンデンサ \(C_1\) と \(C_2\) に蓄えられる電荷 \(Q_1\) と \(Q_2\) は次のようになります。

\(Q_1=SD_1=\cfrac{ε_0ε_{r1}}{d}SV_0\)

\(Q_2=SD_2=\cfrac{ε_0ε_{r2}}{d}SV_0\)

正解は(4)