電験三種 H21年 理論 問1(コンデンサ)

電験三種 H21年 理論 問1(コンデンサ)

問 1 
電極板面積と電極板間隔が共に $S [m^2]$ と $d [m]$ で、一方は比誘電率が $ε_{r1}$ の誘電体からなる平行平板コンデンサ $C_1$ と、他方は比誘電率が $ε_{r2}$ の誘電体からなる平行平板コンデンサ $C_2$ がある。

いま、これらを図のように並列に接続し、端子A、B間に直流電圧 $V_0 [V]$ を加えた。

この時、コンデンサ $C_1$ の電極板間の電界の強さを $E_1 [V/m]$、電束密度を $D_1 [C/m^2]$、また、 コンデンサ $C_2$ の電極板間の電界の強さを $E_2 [V/m]$、電束密度を $D_2 [C/m^2]$ とする。

両コンデンサの電界の強さ $E_1 [V/m]$ と $E_2 [V/m]$ はそれぞれ (ア) であり、電束密度 $D_1 [C/m^2]$ と $D_2 [C/m^2]$ はそれぞれ (イ) である。

したがって、コンデンサ $C_1$ に蓄えられる電荷を $Q_1 [C]$ 、コンデンサ $C_2$ に蓄えられる電荷を $Q_2 [C]$ とすると、それらはそれぞれ (ウ) となる。

ただし、電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は、無視できるものとする。

また、真空の誘電率を $ε_0 [F/m]$ とする。

上記の記述中の空白箇所 (ア)、(イ)、(ウ)に当てはまる式として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。


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解 答
電界の強さを求める
電界の強さは電界の公式から
$E=\cfrac{V}{d} [V/m]$  なので、電界の強さ $E_1とE_2$ は次のようになります。

$E_1=\cfrac{V_0}{d}$$ $$E_2=\cfrac{V_0}{d}$

電束密度を求める
電束密度の公式は
$D=εE [C/m^2]$ で表されるので、電束密度 $D_1とD_2$ は次のように求められます。

$D_1=ε_0ε_{r1}E_1=\cfrac{ε_0ε_{r1}}{d}V_0$

$D_2=ε_0ε_{r2}E_2=\cfrac{ε_0ε_{r2}}{d}V_0$

電荷を求める
電束密度から電荷を求めることができます。

Q[C]の電荷からは、Q本の電束が出ています。

電束密度は面積を $S[m^2]$ とすると、$D=\cfrac{Q}{S}$ 式(2-2-11-3)で表すことができます。

この式を変形すると $Q=SD$ となります。

したがって、コンデンサ $C_1とC_2$ に蓄えられる電荷 $Q_1とQ_2$ は次のようになります。

$Q_1=SD_1=\cfrac{ε_0ε_{r1}}{d}SV_0$

$Q_2=SD_2=\cfrac{ε_0ε_{r2}}{d}SV_0$

正解は(4)