H9 理論 問1(コンデンサ)

H9 理論 問1(コンデンサ)

問 1 
静電容量がそれぞれ$C_1[F]、C_2[F]、及び C_3[F]$ の3個のコンデンサを図のように接続し、直流電圧$V[V]$ を加えたとき、コンデンサ$C_2$ に蓄えられる電荷の値$[C]$ として、正しいのは次のうちのどれか。

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解 答
●$C_2$ にかかる電圧 $V_2$  求める。

$C_1$ にかかる電圧を $V_1$ 

$C_2、C_3$ にかかる電圧を $V_2$ とすると、

$V=V_1+V_2$ になる。

次に、$C_2とC_3$ のコンデンサの合成容量を $C_0$ とすると、並列接続なので、

$C_0=C_2+C_3$ となる。

この回路は、$C_1とC_0$ コンデンサの直列接続なので、$C_1$ に蓄えられる電荷を $Q[C]$ とすれば、

$C_0$ に蓄えられる電荷も $Q[C]$ になります。

$C_1とC_0$ に蓄えられる電荷 $Q$ は等しいので、
$Q=C_1V_1  Q=C_0V_2$$ $$C_1V_1=C_0V_2\tag{1}$

$V=V_1+V_2$ から

$V_1=V-V_2\tag{2}$

式(2)を式(1)に代入すると
$C_1(V-V_2)=C_0V_2$$ $$V_2=\cfrac{C_1V}{C_1+C_0}$

$V_2=\cfrac{C_1V}{C_1+C_2+C_3}\tag{3}$

●電荷を $Q_2$ を求める。

$C_2$ に蓄えられる電荷を $Q_2$ とすると

$Q_2=C_2V_2\tag{4}$

式(3)を式(4)に代入すると

$Q_2=\cfrac{C_1C_2V}{C_1+C_2+C_3}[C]\tag{5}$

正解は(4)