H26 理論 問1(コンデンサ)

H26 理論 問1(コンデンサ)

問 1
極板A-B間が比誘電率$ε_r$=2の誘電体で満たされた平行平板コンデンサがある。

極板間の距離はd [m] 、極板間の直流電圧は$V_o$ [V] である。

極板と同じ形状と大きさをもち、厚さが$\cfrac{d}{4}$ [m] の帯電していない導体を図に示す位置P-Q間に極板と平行に挿入したとき、導体の電位の値 [V] として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。


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解 答

問題文にあるコンデンサは、途中に導体が挿入されているので、2つのコンデンサが直列になっていることになります。

コンデンサの静電容量$C$[F]の式は、次のようになります。

$C=ε\cfrac{S}{d}$

ε:誘電率[F/m] S:電極の面積[$m^2$] d:電極間の距離[m]

ここで、電極の面積をS$[m^2]$、$ε=ε_0ε_r$として、$C_1$と$C_2$を求めると

$ε_0$:真空の誘電率[F/m]

$C_1=ε_0ε_r\cfrac{S}{\cfrac{d}{2}}=2ε_0\cfrac{2S}{d}=\cfrac{4ε_0S}{d}$

$C_2=ε_0ε_r\cfrac{S}{\cfrac{d}{4}}=2ε_0\cfrac{4S}{d}=\cfrac{8ε_0S}{d}$

直列接続のコンデンサに蓄えられる電荷は等しい。

コンデンサの合成静電容量を$C$とすると、和分の積から

$C=\cfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$[F]

電荷と静電容量の関係式 $Q=CV$ に代入すると

$Q=\cfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}V_0$

また、

$V_2=\cfrac{Q}{C_2}$となります。

問題に当てはめて数値を代入する。

$V_2=\cfrac{C_1C_2}{C_2(C_1+C_2)}V_0=\cfrac{C_1}{C_1+C_2}V_0$[V]

$V_2=\cfrac{\cfrac{4ε_0SV_0}{d}}{\cfrac{4ε_0S}{d}+\cfrac{8ε_0S}{d}}=\cfrac{4V_0}{12}=\cfrac{V_0}{3}$

正解は(4)

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