電験三種 H25年 理論 問9(RLC回路の波形)

電験三種 H25年 理論 問9(RLC回路の波形)

問 9
図1のように、$R[Ω]$の抵抗、インダクタンス $L[H]$のコイル、静電容量 $C[F]$のコンデンサからなる並列回路がある。

この回路に角周波数 $ω[rad/s]$の交流電圧 $v[V]$を加えたところ、この回路に流れる電流は $i[A]$であった。

電圧 $v[V]$及び電流 $i[A]$のベクトルをそれぞれ電圧 $\dot{V}[V]$と電流 $\dot{I}[A]$とした場合、両ベクトルの関係を示す図2(ア、イ、ウ)及び $v[V]$と $i[A]$の時間 $t[s]$の経過による変化を示す図3(エ、オ、カ)の組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

ただし、$R≫ωL$ 及び $ωL=\cfrac{2}{ωC}$ とし、一切の過渡現象は無視するものとする。



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解 答

回路に流れる電流 $\dot{I} [A]$ は次のように表される。

$\dot{I}=\cfrac{\dot{V}}{\dot{Z}}=\cfrac{\dot{V}}{R}+\cfrac{\dot{V}}{jωL}+jωC\dot{V}$

問題文に、$R\ggωL$($\gg$は、非常に大きいの意)なので、 $\cfrac{\dot{V}}{R}$ は無視して良い。

上の式は次のようになる。

$\dot{I}=\cfrac{\dot{V}}{jωL}+jωC\dot{V}=\left(\cfrac{1}{jωL}+jωC\right)\dot{V}$

$\dot{I}=\left(jωC-j\cfrac{1}{ωL}\right)\dot{V}$

$\dot{I}=j\left(ωC-\cfrac{1}{ωL}\right)\dot{V}$

誘導性リアクタンス $ωL$ の大きさは、容量性リアクタンス $\cfrac{1}{ωC}$の2倍なので、電流比

$I_L:I_C=1:2$ となるので、$I_C$ の方が大きいことがわかります。

上の式に、$ωL=\cfrac{2}{ωC}$ を代入すると

$\dot{I}=j\left(ωC-\cfrac{1}{\cfrac{2}{ωC}}\right)\dot{V}$

$\dot{I}=j\left(ωC-\cfrac{ωC}{2}\right)\dot{V}$

$\dot{I}=j\cfrac{1}{2}ωC\dot{V}$

$\therefore \dot{I}$ は$\dot{V} [V]$ より90°位相が進む。
(j は90°進みを意味する。-j は90°遅れを意味します。)

図2の 

ア は電流が電圧より遅れている。
イ は電流と電圧が同相。
ウ は電流が電圧より進んでいる。 これが、正解です。

図3
エ は電流と電圧が同相。
オ は電流が電圧より遅れている。
カ は電流が電圧より進んでいる。 これが、正解です

以上のことから、ウ と カ が正しいので、

正解は(5)