H25 理論 問2(電荷間に働く力)

H25 理論 問2(電荷間に働く力)

問 2
図2のように、真空中の直線状に間隔 $r [m]$ を隔てて、点A、B、Cがあり、各点に電気量 $Q_A=4×10{-6} [C]、 Q_B [C]、 Q_C [C]$ の点電荷を置いた。

これら三つの点電荷に働く力がそれぞれ零になった。

このとき、$Q_B [C]$ 及び $Q_C [C]$ の値の組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

ただし、真空の誘電率を $ε_0 [F/m]$ とする。

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解 答

それぞれの位置関係


電界の強さの公式は
$E=\cfrac{1}{4πε_0}\cdot\cfrac{Q}{r^2}=9×10^9×\cfrac{Q}{r^2} [V/m]$

電荷に働く力の公式は
$F=QE [N]$

① 電荷 $Q_A$ を考える

$Q_A$ が $Q_B$、 $Q_C$ に作る電界の強さをそれぞれ $E_{A1}$ 、$E_{A2}$ とします。

$E_{A1}=9×10^9×\cfrac{Q_A}{r^2}$

$E_{A2}=9×10^9×\cfrac{Q_A}{(2r)^2}$

$Q_A$ が及ぼす力 を考える

$F_A=F_{A1}+F_{A2}=0$

$Q_B$ にかかる力$F_{A1}$

$F_{A1}=Q_BE_{A1}=9×10^9×\cfrac{Q_AQ_B}{r^2}$

$Q_C$ にかかる力$F_{A2}$

$F_{A2}=Q_CE_{A2}=9×10^9×\cfrac{Q_AQ_C}{4r^2}$

$Q_A$ にかかる力$F_A$

$F_A=F_{A1}+F_{A2}=0$

$F_A=9×10^9×\cfrac{Q_AQ_B}{r^2}+9×10^9×\cfrac{Q_AQ_C}{4r^2}$

$F_A=9×10^9×\cfrac{Q_A(Q_B+\cfrac{Q_C}{4})}{r^2}=0\tag{1}$

式(1) から

$Q_B=-\cfrac{Q_C}{4}\tag{2}$

② 電荷 $Q_B$ を考える

$Q_B$ が $Q_A$、 $Q_C$ に作る電界の強さをそれぞれ $E_{B1}$ 、$E_{B2}$ とします。

$E_{B1}=9×10^9×\cfrac{Q_B}{r^2}$

$E_{B2}=9×10^9×\cfrac{Q_B}{r^2}$

$Q_B$ が及ぼす力 を考える

$F_B=F_{B1}-F_{B2}=0$

$Q_A$ にかかる力$F_{B1}$

$F_{B1}=Q_AE_{B1}=9×10^9×\cfrac{Q_AQ_B}{r^2}$

$Q_C$ にかかる力$F_{A2}$

$F_{B2}=Q_CE_{B2}=9×10^9×\cfrac{Q_BQ_C}{r^2}$

$Q_B$ にかかる力$F_B$

$F_B=F_{B1}-F_{B2}=0$

$F_B=9×10^9×\cfrac{Q_AQ_B}{r^2}-9×10^9×\cfrac{Q_BQ_C}{r^2}$

$F_B=9×10^9×\cfrac{Q_B(Q_A-Q_C)}{r^2}=0\tag{3}$

式(3) から

$Q_A=Q_C\tag{4}$

式(4) から

$Q_C=Q_A=4×10^{-6} [C]$ になります。

式(2) から

$Q_B=-\cfrac{Q_C}{4}=-\cfrac{4×10^{-6}}{4}$

$Q_B=-1×10^{-6} [C]$

正解は(3)